Il rivoluzionario esperimento di Fermi-Pasta-Ulam

L’esperimento di Fermi-Pasta-Ulam ha giocato un ruolo importante nella storia delle simulazioni al computer, perché ha introdotto per la prima volta il concetto di “simulazione”. Inoltre, grazie, a questo esperimento, il premio Nobel italiano Enrico Fermi ha capito, nei suoi ultimi mesi di vita, che gli aggregati di dimensioni nanometriche hanno un numero di atomi non sufficiente a garantire una statistica che evolve monotonicamente verso l’equilibrio. Un risultato inatteso che possiamo replicare anche noi e che trova applicazione nel moderno campo delle Reazioni Nucleari a Bassa Energia.

Nell’estate del 1953, i tre eminenti scienziati Enrico Fermi, John Pasta e Stanislaw Ulam volevano condurre, al laboratorio scientifico di Los Alamos alcuni esperimenti numerici – o simulazioni al computer – con uno dei primi calcolatori elettronici (chiamato MANIAC I). Cercarono quindi un problema di fisica teorica adatto ad essere investigato e decisero di studiare il processo di termalizzazione in un solido, simulando l’analogo 1-dimensionale degli atomi in un reticolo cristallino.

Così, per mettere alla prova quel rudimentale computer, una sera gli lasciarono come compito quello di simulare una semplice stringa unidimensionale di 64 oscillatori armonici vibranti (cioè, in pratica, una lunga catena di particelle legate da molle che obbediscono alla legge lineare di Hooke) che includevano anche un termine non lineare (quadratico in un test, cubico in un altro e un’approssimazione lineare di un termine cubico in un terzo), per trovare l’energia media di questo sistema.

Fermi, Pasta e Ulam. In alto, il calcolatore MANIAC 1 che doveva integrare le equazioni di Newton del moto di una stringa unidimensionale di particelle collegate a delle molle.

Il cosiddetto “paradosso di Fermi-Pasta-Ulam”

Con grande sorpresa, il giorno dopo scoprirono che, dopo migliaia di periodi di oscillazione, il comportamento del sistema era molto diverso da quello che l’intuizione avrebbe portato loro ad aspettarsi. Fermi pensò che dopo molte iterazioni il sistema avrebbe esibito una “termalizzazione”, cioè un comportamento ergodico in cui l’influenza delle modalità iniziali di vibrazione si attenua e il sistema diventa più o meno casuale con tutte le modalità eccitate più o meno allo stesso modo.

Invece, trovarono che l’energia vibrazionale non veniva equamente condivisa: al contrario, era localizzata e focalizzata su un piccolo numero di elementi. Pertanto, Fermi-Pasta-Ulam con il loro esperimento numerico dimostrarono che alcune regioni del sistema estraggono calore dall’ambiente e “lo pompano” per fornirlo alle regioni di ampiezza più grande, lasciando luoghi in cui le masse sono “vibrazionalmente fredde”.

Il sistema di Fermi-Pasta-Ulam (in alto), costituito da particelle collegate da molle non lineari, e nel quale l’energia non rilassa verso l’equilibrio (sotto l’evoluzione nello “spazio dei modi”).

Questa, però, è soltanto un’inversione locale della 2a legge della termodinamica, non un’inversione globale. Una tale legge, infatti, sarebbe solo apparentemente violata, perché un principio statistico semplicemente non può essere applicato a sistemi costituiti da un numero relativamente piccolo di atomi. La non applicazione della 2a legge della termodinamica può essere estesa anche a un sistema macroscopico costituito da molte strutture nanoscopiche relativamente isolate [1].

Le condizioni necessarie e sufficienti per questa inattesa localizzazione dell’energia osservata nel semplice sistema simulato da Fermi-Pasta-Ulam nel loro pionieristico esperimento erano le seguenti due: (1) un numero numerabile di elementi (in pratica, il numero di elementi non può essere troppo grande o troppo piccolo); (2) un accoppiamento non lineare tra gli elementi del sistema.

Una simulazione numerica del sistema di Fermi-Pasta-Ulam per il modello “alfa” (non-linearità quadratica) eseguita in Wolfram Mathematica. Si noti la ricorrenza al minuto 1:13.

Il risultato trovato da Fermi-Pasta-Ulam, opposto a quello atteso, ha sollevato un paradosso i cui primi tentativi di spiegarlo hanno messo in discussione l’accuratezza numerica della simulazione. Ma già nei 10 anni successivi molti studi hanno dimostrato che il problema non può venire banalizzato accusando la scarsa accuratezza del metodo di integrazione usato da Fermi-Pasta-Ulam (FPU).

Un semplice listato per MATLAB che risolve le equazioni per la dinamica del sistema di Fermi-Pasta-Ulam e calcola i modi normali. (fonte: Scholarpedia)

Un approccio vincente soluzione del paradosso giunse nel 1959 da Chiricov, che introdusse la nozione di “caos dinamico”. Egli trovò per via analitica una soglia stocastica, sopra la quale il sistema di Fermi-Pasta-Ulam ha dimostrato di comportarsi in accordo con le aspettative originarie dei tre scienziati, rivelando forti proprietà statistiche, come l’equipartizione dell’energia tra i modi lineari.

Quando all’inizio vengono eccitati i modi più alti, il sistema di FPU si trova al di sopra della soglia di stocasticità, per cui sono necessari valori di β più bassi per rivelare un comportamento stocastico del sistema. Ma nelle simulazioni originali di Fermi-Pasta-Ulam l’energia non lineare non ha mai superato il 10% dell’energia totale, perciò il sistema era ben al di sotto della soglia stocastica. Insomma, la non-linearità non era sufficiente a garantire l’equipartizione dell’energia nel sistema.

I due modelli solitamente considerati in letteratura nello studio del sistema di Fermi-Pasta-Ulam: i modelli alfa (non-linearità quadratica) e beta (non-linearità cubica).

In altre parole, la soglia di stocasticità spiega con successo il comportamento del sistema di Fermi-Pasta-Ulam, rivelando una dipendenza del comportamento stocastico (ergodicità) dalle condizioni iniziali. Il criterio trovato da Chiricov ha mostrato che, quando il sistema viene eccitato nei modi più alti, sono necessari valori più bassi del parametro β per innescare un comportamento caotico (caos dinamico).

Nel 1965, ovvero 10 anni dopo la pubblicazione dell’esperimento di FPU in un rapporto di Los Alamos, Zabusky e Kruskal furono in grado di mettere in relazione il comportamento periodico che si osserva nel sistema di FPU con la dinamica delle eccitazioni localizzate, oggi conosciute come solitoni. La generazione di solitoni è stata trovata per condizioni al contorno periodiche, una situazione che condivide alcune caratteristiche con il problema originale delle condizioni al contorno fisse studiato da Chiricov.

Evoluzione nello spazio-tempo in un sistema con condizioni al contorno periodiche. Nella terza figura a destra si nota la nascita di un treno di solitoni.

L’esperimento numerico di Fermi-Pasta-Ulam è dunque stato importante sia nel dimostrare il valore delle simulazioni al computer nell’analizzare i sistemi, sia nel dimostrare la complessità del comportamento dei sistemi non lineari, aprendo la strada a un nuovo campo di ricerca fisico-matematico, la fisica non-lineare (poiché questo problema, nella sua versione a due dimensioni, ha portato alla moderna consapevolezza del “caos deterministico” ed è oggi centrale nella teoria del caos).

Metaforicamente parlando, i solitoni ed il caos deterministico sono lo “yin” e lo “yang” della scienza non-lineare: i solitoni riflettono il sorprendente ordine che può esistere in certi sistemi non-lineari di elevata dimensionalità all’apparenza molto complicati, mentre il caos descrive il risultato ugualmente sorprendente (almeno inizialmente) che sistemi non-lineari deterministici all’apparenza semplici possono comportarsi in un modo effettivamente casuale e imprevedibile.

Localizzazione dell’energia nel reticolo metallico

Il Dr. Brian Ahern degli Ames National Laboratories, un esperto americano specializzato in fisica dei materiali e sostenitore di lunga data delle cosiddette LENR – Reazioni Nucleari a Bassa Energia, che egli tenta di utilizzare con la Vibronic Energy Technologies Corp., una società da lui fondata dopo 24 anni trascorsi in R&S lavorando in un Laboratorio della US Air Force – è un guru moderno della “localizzazione dell’energia” su scala nanometrica.

Secondo Ahern [2], gli aggregati microscopici nella gamma di dimensioni di pochi nanometri – come quelli che, strutturalmente parlando, costituiscono alcuni dei più piccoli granelli nanometrici della polvere di nichel, uno dei “combustibili” usati nei sorprendenti reattori LENR sviluppati dall’italiano Andrea Rossi – hanno delle proprietà diverse rispetto ai solidi macroscopici dello stesso materiale.

I “cluster”, aggregati nella gamma di dimensioni di pochi nanometri, sono i sistemi ideali per il realizzarsi della localizzazione dell’energia scoperta da Fermi-Pasta-Ulam.

Quando un tale aggregato è costituito solo da poche migliaia di atomi, una frazione considerevole si trova sulla superficie ed è soggetta a forze leganti non lineari con gli atomi interni. Pertanto, gli atomi degli aggregati esercitano uno smorzamento insufficiente e le oscillazioni possono differire da quelle armoniche, mostrando posizioni di maggiore energia rispetto a quelle di altre aree.

In pratica, se tali particelle ricevono un impulso di energia (ad esempio da oscillazioni termo-meccaniche), l’energia non sarà distribuita uniformemente tra tutti gli atomi dell’aggregato rispettando il cosiddetto “Principio di Equipartizione dell’Energia” (un concetto famoso nella fisica statistica classica), ma sarà localizzata su un numero molto piccolo di atomi che acquisiscono un’energia molto più alta di quella che avrebbero in condizioni di equilibrio termico.

La violazione del principio di equipartizione dell’energia in un sistema di FPU schematizzato con molle che seguono la legge di Hook più un termine non-lineare quadratico.

Secondo Ahern, “soltanto le nanoparticelle nella gamma di dimensioni 3-12 nm hanno entrambe le proprietà citate in precedenza (numero numerabile di elementi e accoppiamento non lineare): la seconda è garantita dal fatto che una grande frazione degli atomi si trova vicino alla superficie e risiede in potenziali “buche” non paraboliche poco profonde. Tutte le nanoparticelle in questo regime dimensionale mostreranno modalità vibratorie localizzate nell’energia” [2]. Quindi, in questi sistemi ci saranno dei “serbatoi” localizzati di energia molto caldi.

Questo fenomeno potrebbe dunque spiegare brillantemente la catalisi di processi importanti, nucleari o pseudo-nucleari, a bassa energia – le già citate reazioni LENR (da Low Energy Nuclear Reaction) – all’interno di un reattore come l’E-Cat di Andrea Rossi o di altri reattori simili che producono grandi quantità di energia termica utilizzando come combustibile delle ridottissime quantità di polveri nanometriche di certe sostanze e delle temperature globali relativamente modeste.

Grazie alla localizzazione dell’energia osservata da Fermi-Pasta-Ulam, non ci sarebbe bisogno di abbassare la cosiddetta “energia di attivazione”, cioè l’energia minima richiesta per avviare una reazione chimica, ma che per una reazione nucleare può essere pensata come l’altezza della “barriera di potenziale”, una regione in cui le particelle sono decelerate o fermate da una forza repulsiva.

L’energia di attivazione, la barriera energetica che separa l’energia potenziale dei reagenti e dei prodotti di una reazione chimica.

Infatti, i pochi atomi che costituiscono parti localizzate di un granello molto piccolo, in alcuni transienti, potrebbero assorbire gran parte dell’energia termomeccanica delle nanoparticelle e quindi renderle disponibili per l’attivazione di reazioni che altrimenti potrebbero verificarsi solo a temperature molto più elevate [1]. Insomma, vi sarebbe una localizzazione dell’energia nel tempo e nello spazio, la quale può contribuire a innescare – o quanto meno a spiegare – reazioni di tipo nuovo.

Dalla simulazione agli esperimenti reali

Come sottolineato da Ahern in un suo lavoro divulgativo, nella maggior parte dei solidi i nuclei degli atomi risiedono in una buca di potenziale parabolica e sperimentano un semplice moto armonico quando sono collegati da molle. Questo fa vibrare gli atomi ad alta frequenza e bassa ampiezza.

Ma alcuni materiali hanno delle buche di potenziale molto ampie e poco profonde. Di conseguenza, producono modi vibrazionali non lineari di grande ampiezza e bassa frequenza, ed i nuclei del reticolo metallico si muovono su distanze molto più grandi, mentre i nuclei di idrogeno subiscono massicce oscillazioni non lineari. Questi tipi di buche di potenziale caratterizzano tutti i superconduttori, tra cui Pd-D, Pd-H, Ni-H, etc. Pertanto, i nuclei atomici, nei materiali superconduttori, non vibrano come nella maggior parte dei solidi: subiscono delle ampie oscillazioni di ampiezza [2].

Le “buche non paraboliche poco profonde” (in basso), tipiche dei superconduttori.

“Quando il reticolo metallico è nel giusto intervallo dimensionale” – spiega Ahern – “subisce ampie oscillazioni anarmoniche di ampiezza. Ciò, a sua volta, provoca un’ulteriore amplificazione dei modi dell’idrogeno verso una condizione caotica. Questo introduce nuove possibilità per reazioni energetiche che come tali sono imprevedibili”. La sua teoria potrebbe dunque spiegare l’eccesso di calore anomalo sia nei sistemi Ni-H (Focardi e Piantelli, Rossi, etc.) sia nei sistemi Pd-D (Arata, Kitamura, etc.).

Il fenomeno della localizzazione dell’energia potrebbe persino spiegare l’inizio di reazioni di fusione nucleare a bassa temperatura (LENR) in nanoparticelle nanostrutturate sature di idrogeno / deuterio. Lo stesso fenomeno potrebbe essere utilizzato anche per spiegare la capacità di scindere la molecola di idrogeno da particolari leghe nanostrutturate, pure a temperature molto più basse di quelle normalmente richieste dai 4,5 eV dell’energia di legame della molecola di idrogeno.

La localizzazione dell’energia potrebbe, infine, spiegare anche i cosiddetti “punti caldi” (o hotspot). È noto che le LENR si verificano in punti microscopici su determinate superfici: si tratta di siti localizzati su scala microscopica su superfici planari o superfici curve di nanoparticelle. In generale, gli hotspot vengono distrutti in breve tempo dal calore intenso: le temperature massime locali possono raggiungere i 4.000-6.000 °C. Tali punti caldi, insieme alla reazione esotermica fuori controllo, potrebbero essere interpretati come una possibile “firma” delle LENR stimolate dalla localizzazione dell’energia.

Evidenti hotspot ottenuti in un esperimento LENR con un reattore contenente solo nichel e idrogeno effettuato dal China Institute of Atomic Energy.

Ciò non è fantascienza: in un esperimento replicato da Ahern ma originariamente eseguito nel 2006 da Yashiaki Arata – un pioniere della ricerca sulla fusione nucleare in Giappone e lo scienziato più decorato nel suo Paese – gas di deuterio ad alta pressione (> 100 atm) aggiunto a polveri da 5 -10 nm costituite da una miscela di Pd e ZrO2 o una lega di Zr + Ni + Pd a temperatura ambiente o vicina ad essa, hanno prodotto spontaneamente calore anomalo ed elio. Ma la caratteristica interessante di tale esperimento di fusione “a stato solido” era che non era fornita alcuna energia in ingresso!

Ecco la spiegazione di Ahern: “L’idruro di palladio è un composto superconduttore che ha già enormi modi vibrazionali per gli isotopi dell’idrogeno. Lavorando con polveri di palladio delle dimensioni di 4-10 nm, siamo in grado di produrre enormi modi vibrazionali anarmonici nel reticolo del palladio che si sovrappongono alle vibrazioni anarmoniche dell’idrogeno, portando ad un’amplificazione dei modi dell’idrogeno. La localizzazione dell’energia si sovrappone al movimento già delocalizzato di questo sistema superconduttore. Quindi, la fusione fredda, nei sistemi macroscopici, è controllata dalla sovrapposizione dei modi vibrazionali dei nuclei di deuterio presenti”.

Come stimolare la localizzazione dell’energia

Una possibile strategia per stimolare ulteriormente il fenomeno della localizzazione dell’energia e quindi migliorare la produzione di calore in eccesso negli esperimenti LENR – e, più specificamente, nei reattori di tipo E-Cat – potrebbe derivare da tutte le tecniche in grado di portare un sistema nanoparticellare decisamente fuori dall’equilibrio termodinamico.

Quest’obiettivo è raggiungibile generando forti gradienti termici locali, che possono essere ottenuti in una varietà di modi: ad esempio, facendo passare appropriati impulsi di corrente attraverso opportune miscele di nanoparticelle e microparticelle nanostrutturate [1]. Questa tecnica è già usata da vari ricercatori (ad es. Piantelli e Celani, in Italia) e probabilmente dallo stesso Rossi nell’Hot-Cat e nel QuarkX.

Il possibile collegamento fra la localizzazione dell’energia e alcuni reattori LENR.

Negli originali esperimenti eseguiti da Francesco Celani (Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, o INFN), Giorgio Vassallo (Università di Palermo, Italia) e dai loro numerosi collaboratori, è stato trovato anche l’effetto della generazione spontanea di una differenza di potenziale, o tensione, in fili di Constantana riscaldati in presenza di idrogeno [3], un’interessante analogia con il QuarkX.

Dal 2011, il gruppo di Celani ha infatti introdotto, nel campo di ricerca LENR, un nuovo materiale a basso costo, una lega di rame-nichel denominata “Costantana” (ISOTAN 44, Isabellenhutte – Germania, la cui composizione è la seguente: Cu 55% Ni 44% Mn 1%), e ha dimostrato che, a dimensioni nanometriche / micrometriche ed a temperature sufficientemente elevate (> 120 °C), catalizza la dissociazione di idrogeno molecolare (H2) a monoatomico e assorbe / adsorbisce i protoni nel proprio reticolo.

In una configurazione tipica, Celani et al. hanno un filo di platino (diametro = 100 μm) utilizzato principalmente per scopi di calibrazione (“riferimento”) e due fili di Costantana (l’”attivo”) con diversi diametri (100 e 200 μm, rispettivamente) e/o trattamenti di superficie. Ogni filo è inserito all’interno di una guaina di vetro Boro-Silicato (le 3 guaine sono strettamente intrecciate tra loro).

I primi risultati ottenuti erano abbastanza riproducibili e il calore anomalo rilevato (a temperature di superficie del filo di Constantana di 160-400 °C) era di circa 5-10 W con 50 W di potenza elettrica in ingresso. Periodicamente, è stata misurata la resistenza di uno dei due fili di costantana per valutare la presenza di idrogeno assorbito. Questa resistenza è diminuita (fino a valori inferiori al 70% di quello iniziale, il cosiddetto rapporto R/Ro), quando il filo è stato riscaldato in presenza di idrogeno.

Il reattore di Francesco Celani al NIWeek 2012, ad Austin, in Texas. (cortesia E-Cat World)

Il 25 giugno 2014, il gruppo ha notato – quasi per caso – che il filo di Costantana genera da solo una tensione macroscopica (>> 100 μV), che è funzione di molti parametri (temperatura, tipo di gas, pressione, valore di R/Ro) . I valori massimi (non stabili nel tempo, solo poche ore) erano dell’ordine di 1400 μV e una corrente di 120 μA. I valori stabili erano circa la metà.

La cosa più interessante è che l’effetto non è il solito effetto Seebeck, perché usano solo un filo, non una giunzione di 2 materiali diversi come invece avviene nelle termocoppie. Secondo Celani e collaboratori, la nuova tensione spontanea (e il basso calore in eccesso) sono legati a molti parametri e condizioni. Tuttavia, le condizioni di non equilibrio, il più grande possibile, sembravano essere le condizioni più importanti per ottenere qualsiasi tipo di anomalie termiche o elettriche.

Negli anni successivi, molti fili di diverse composizioni sono stati sviluppati dal gruppo di Celani per aumentare il valore di tali anomalie elettriche. Dopo 2 anni, il gruppo ha migliorato i valori di tensione e corrente di un ordine di grandezza (cioè 100 in potenza). Ha scoperto, tra le altre cose, che una superficie vetrosa specifica ha aumentato i valori di calore anomalo perché il vetro assorbe una grande quantità di H2. Anche l’aggiunta di Fe alle superfici del filo si è dimostrata efficace [4].

Quindi, è necessario più lavoro per capire meglio la fenomenologia complessa e aumentare ulteriormente le “anomalie” utili. Appaiono chiare anche le “connessioni” con i risultati ottenuti da Andrea Rossi con il QuarkX – che sono una prima conferma indiretta di questo eccellente lavoro – ma l’apparato di Celani sembra più adatto per un ulteriore studio sperimentale dei parametri e della fisica coinvolti.

 

Riferimenti bibliografici

[1]  Vassallo G., The concept of Energy Localization of Brian Ahern, Comunicazione Personale, 2012 (e aggiornamento nel 2017).

[2]  Ahern B., Energy Localization: The Key to Understanding Energy in Nanotechnology and Nature, slides reperibili nel sito web di LENR-CANR.

[3]  Celani F., Vassallo G., et al., Observation of Macroscopic Current and Thermal Anomalies by Hetero-structures on thin an long Constantan Wires under H2 gas, Proceedings ICCF-19, Padova, 2015.

[4]  Celani F., Vassallo G., et al., Improved Stability and Performance of Surface-modified Constantan wires, by Chemical additions and Unconventional Geometrical Structures, Proceedings ICCF-20, Sendai, 2016.

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