Come simulare una stella con StarSimu

La maggior parte delle stelle – e la relativa evoluzione nel tempo – possono essere studiate soltanto con modelli stellari estremamente sofisticati che vanno ben al di là delle possibilità di utilizzo e comprensione dello scienziato dilettante. Tuttavia, esistono alcuni modelli stellari molto semplici, che descrivono piuttosto bene alcune classi particolari di stelle, che possono essere simulati piuttosto facilmente, e poi visualizzati sullo schermo del proprio computer, con StarSimu, un file per  foglio di calcolo che ho a suo tempo realizzato per poter divulgare la fisica delle stelle anche al grande pubblico.

StarSimu è un file, scaricabile cliccando qui, che gira sul programma di foglio di calcolo Excel®, il più usato nel suo genere da parte dei computer IBM-compatibili. Questo file ti permette di calcolare la variabili fisiche in un interno stellare – che di per sé determinano la struttura di una stella – al variare della distanza dal centro della stella. Inoltre, sei assolutamente libero di impostare tutti i parametri rilevanti della simulazione.

StarSimu è nato durante la mia preparazione dell’esame di Astrofisica stellare con il prof. Vittorio Castellani, eccellente divulgatore ed all’epoca ordinario all’Università di Pisa. L’originale idea – che io sappia, infatti, nessuno fino ad allora aveva mai usato un foglio di calcolo per un modello stellare – mi venne nel 1995, leggendo il libro Fisica stellare dell’astrofisico russo S.A. Kaplan. Infatti, le semplici equazioni concernenti i modelli “politropici” di stelle menzionati in tale libro, e che illustreremo più avanti, sono state incorporate in StarSimu.

Altri utili idee mi sono state fornite anche dal libro Astrophysics with a PC di Paul Hellings, un’eccellente guida per gli astronomi dilettanti che vogliono esplorare l’astrofisica con un personal computer. Fra gli argomenti che il libro, infatti, vi sono la forma della coda delle comete, la dinamica delle meteore, l’evoluzione delle orbite delle stelle binarie, i modelli stellari omogenei, le atmosfere stellari, la formazione stellare nella galassia, ed i modelli cosmologici per l’Universo.

Il bel libro sull’ “Astrofisica con un personal computer”, per i dilettanti più “evoluti”.

Introduzione al “simulare” una stella

La nostra galassia, la Via Lattea, è un sistema che consiste di più di 100 miliardi di stelle. Ad occhio nudo possiamo vederne circa 6.000, ma con un piccolo telescopio questo numero cresce ad alcune centinaia di migliaia. Diversamente dai pianeti, le stelle appaiono come oggetti puntiformi e immobili anche quando osservate con un telescopio, a causa delle grandi distanze che ci separano da esse.

Il Sole è la stella più vicina, perciò ci appare come la stella più luminosa e più grande. In realtà, il Sole è una stella tipica, nel senso che i suoi parametri fisici sono molto vicini a quelli medi di tutte le stelle nel loro insieme. Tuttavia, i valori di massa, raggio e luminosità cambiano notevolmente da una stella all’altra, mentre la composizione chimica si rivela essere abbastanza simile.

Una stella è un’enorme sfera di gas in equilibrio tra la forza esercitata dalla propria stessa gravità e la forza prodotta da una pressione che varia dal centro e la superficie. La pressione è esercitata dal gas stesso e/o dalla radiazione prodotta nelle reazioni nucleari (che sono dovute alle altissime temperature coinvolte, dell’ordine di milioni di gradi negli interni stellari).

La nebulosa “Testa di cavallo” mostra molto bene le nubi di gas da cui poi si formano, per contrazione dovuta alla forza di gravità, le stelle. (fonte: Hubble/NASA)

I computer sono le “sonde” con cui gli astrofisici sono soliti esplorare gli interni stellari, determinando come le quantità fisiche rilevanti – quali pressione, temperatura, densità, composizione chimica e campo di radiazione – cambiano andando dalla superficie verso gli strati più interni. Ed, a tale scopo, già 40 anni fa sono stati sviluppati i primi sofisticati algoritmi di calcolo da alcuni gruppi di scienziati.

Un computer, infatti, simula il comportamento fisico di una stella calcolando un modello stellare, dove la parola “modello” non significa una ricostruzione in scala della stella, ma la sua descrizione teorica attraverso opportune formule matematiche. In pratica, tale modello è un esteso algoritmo per computer che include un grande numero di processi fisici, come tutti i tipi di mescolamento chimico, la nucleosintesi dettagliata e gli effetti idrodinamici.

Poiché le reazioni nucleari nella regione centrale della stella cambiano la composizione chimica, e poiché l’energia rilasciata da queste reazioni è infine irradiata nello spazio dalla superficie, i modelli stellari cambiano non soltanto in funzione delle coordinate spaziale, ma anche nel tempo. L’evoluzione di una stella è perciò calcolata come un numero di modelli successivi separati da certi intervalli temporali.

I più elementari modelli stellari sono i cosiddetti “modelli politropici”, o politropi, sviluppati da eminenti fisici quali Lane, Kelvin e Emden, che all’inizio del secolo scorso hanno cercato di costruire un semplice modello dell’interno stellare. I politropi oggi non vengono più usati nell’astronomia professionale, ma offrono una buona introduzione alla struttura stellare ed alla costruzione dei modelli stellari.

Il calcolo delle equazioni che governano la struttura di una stella (in un dato “istante”) si semplifica nel caso dei modelli politropici, o politropi.

Oggi, la diffusione capillare dei personal computer che si è avuta negli ultimi decenni permette ad ogni astronomo dilettante di eseguire una simulazione numerica di un interno stellare. In questo articolo mostrerò, in particolare, come usare un programma di foglio di calcolo e un modello politropico per calcolare la struttura interna di una stella.

Naturalmente, vi sono algoritmi semi-professionali che, tenendo conto di maggiori interdipendenze, sono capaci di riprodurre certe proprietà fisiche delle stelle particolarmente bene. Comunque, i nostri modelli forniscono una buona approssimazione di come i principali parametri fisici variano attraverso una stella, e sono gli unici modelli stellari che possono essere calcolati da un dilettante inesperto.

L’evoluzione stellare e il diagramma H-R

L’Italia vanta una prestigiosa tradizione nel campo della simulazione dell’evoluzione stellare, come normalmente si chiama questo settore di ricerca, dato che – come sarà a questo punto chiaro – il passo successivo a quello della simulazione di un interno stellare è l’aggiunta della variabile “tempo”. In particolare, il già citato prof. Castellani è stato il fondatore della cosiddetta “scuola evolutiva di Frascati”.

Il software sviluppato in anni e anni di lavoro dal gruppo del prof. Castellani, chiamato FRANEC (acronimo di Frascati Newton-Raphson Evolution Code) già al tempo della mia tesi consisteva di centinaia di pagine di istruzioni in Fortran, in cui erano contenute sia la “fisica” delle stelle più “ovvia” e più rilevante, sia una gran varietà di effetti fisici minori poi testati con le osservazioni al telescopio.

Grazie al lavoro di gruppi di livello internazionale come quello del Castellani (la cui eredità è stata raccolta da Scilla Degl’Innocenti e da altri ex-allievi sparsi fra Pisa,Teramo, Roma, Napoli, etc.) e di altri gruppi similari che lo hanno preceduto in altri Paesi con software altrettanto validi, oggi conosciamo in grande dettaglio l’evoluzione di una stella, nota la sua massa e la sua composizione chimica iniziale.

In particolare, il diagramma di Hertzsprung-Russell (o diagramma H-R) è uno degli strumenti più importanti nello studio dell’evoluzione stellare. Sviluppato indipendentemente nei primi anni del 1900 da Ejnar Hertzsprung e Henry Norris Russell, esso traccia la temperatura delle stelle rispetto alla loro luminosità (il diagramma H-R teorico), o il colore delle stelle (o tipo spettrale) rispetto alla loro magnitudine assoluta (il diagramma H-R osservazionale, noto anche come diagramma colore-magnitudine).

Illustrazione schematica che illustra un tipico diagramma di Hertzprung-Russell.

A seconda della sua massa iniziale, ogni stella passa attraverso specifici stadi evolutivi dettati dalla sua struttura interna e da come produce energia. Ciascuno di questi stadi corrisponde a un cambiamento nella temperatura e luminosità della stella, che può essere visto per lo spostarsi della stella in regioni diverse sul diagramma H-R mentre evolve. Ciò rivela il vero potere del diagramma H-R: gli astronomi possono conoscere la struttura interna e lo stadio evolutivo di una stella semplicemente determinandone la posizione nel diagramma.

In pratica, il diagramma “fotografa” un ampio gruppo di stelle in varie fasi della loro evoluzione. Di gran lunga, la caratteristica più importante del diagramma è la “sequenza principale”, che va da quelle in alto a sinistra (stelle calde e luminose) a quelle in basso a destra (stelle fredde e deboli) del diagramma, e sulla quale le stelle trascorrono circa il 90% della propria vita, bruciando idrogeno in elio nei loro interni. Anche il ramo delle stelle rosse giganti e supergiganti è ben popolato e ci sono molte nane bianche.

Le stelle rosse giganti e supergiganti hanno basse temperature superficiali e alte luminosità, il che significa che hanno anche raggi grandi. Le stelle entrano in questa fase evolutiva una volta che hanno esaurito il carburante di idrogeno nei loro interni e hanno iniziato a bruciare l’elio e altri elementi più pesanti. Le stelle nane bianche sono lo stadio evolutivo finale di stelle di massa da basse a intermedia e sono molto calde, ma hanno luminosità basse a causa delle loro piccole dimensioni.

Le nane bianche sono lo stadio finale dell’evoluzione delle stelle di piccola massa con masse iniziali più piccole di 3 masse solari.

Gli astronomi usano generalmente il diagramma H-R per riassumere l’evoluzione delle stelle o per studiare le proprietà di un gruppo di stelle. In particolare, tracciando un diagramma H-R ad es. per un ammasso globulare o aperto di stelle, gli astronomi possono stimare l’età dell’ammasso guardando dove le stelle sembrano concludere la sequenza principale. Ma ora torniamo al nostro semplice simulatore di interni stellari, cercando di capire che tipo di stelle è in grado di simulare con il suo modello.

Le ipotesi dietro i modelli calcolati da StarSimu

Ipotesi 1

La configurazione statica di una sfera gassosa tenuta insieme dall’autogravitazione deve soddisfare la cosiddetta “condizione di equilibrio idrostatico”, un’equazione locale applicabile ai singoli punti di una stella. L’essenza dell’equazione di equilibrio idrostatico è che la variazione della pressione P attraverso la stella è giusto sufficiente a bilanciare il campo gravitazionale della stella. Inoltre, la pressione è determinata da un’equazione di stato applicabile alle condizioni locali nell’interno stellare.

Illustrazione dell’equilibrio idrostatico di una stella, dovuto alle due forze opposte .

Le considerazioni precedenti non determinano, di per sé, la struttura di una stella. In ogni punto di un interno stellare qualsiasi specifico aumento di pressione che possa essere richiesto per bilanciare la forza gravitazionale è ottenibile da un numero illimitato di combinazioni dei valori della densità (rho) e della temperatura (T). Perciò, sono necessarie condizioni aggiuntive relative alle variabili fisiche nell’interno stellare.

Un’approssimazione introdotta all’inizio del Novecento è quella di eliminare T ipotizzando che l’aumento della pressione possa essere espresso come una qualche potenza della sola densità. Questa relazione “politropica” pressione-densità è scritta come P = K x rho^Y, dove l’esponente Y è un parametro libero che ci permette di considerare modelli stellari (cosiddetti politropi) di vari tipi, e K è una costante che dipende dalla natura stessa del politropo.

Ipotesi 2

La relazione politropica fu scelta più su basi matematiche che fisiche, poiché all’epoca non poteva essere dedotta da argomentazioni di tipo fisico. Tuttavia, certe circostanze fisiche idealizzate per una stella conducono in modo naturale a una relazione politropica pressione-densità. Qui di seguito vi sono alcuni politropi classici che erano importanti già in passato:

Y = 5/3: modello di una stella totalmente convettiva (cioè di una stella in cui l’energia è trasportata per convezione), nella quale la pressione di radiazione non è importante; usato anche per una stella nana bianca supportata dalla pressione di un gas di elettroni “degenere” non relativistico. L’elettrone degenere è una particolare condizione del gas di elettroni che compone una stella, il quale devia dall’andamento statistico normale detto di “equilibro termodinamico”.

Y = 4/3: il modello standard di Eddington, usato per descrivere una stella in cui la pressione del gas è una frazione costante della pressione totale attraverso la stella (questo particolare politropo corrisponde più strettamente a stelle in equilibrio radiativo, cioè stelle per le quali l’energia è trasportata per trasferimento radiativo piuttosto che per convezione); usato anche per descrivere una stella nana bianca supportata da un gas di elettroni nello stato di degenerazione completa relativistica.

Una stella sorretta da un gas di elettroni degenere relativistico ha una massa limite, nota come “limite di Chandrasekhar” (il fisico indiano nella foto), che la predisse.

Y = 1: un’approssimazione per la distribuzione delle stelle in un ammasso globulare (rappresenta un gas auto-gravitante isotermo, ed un ammasso globulare può essere visto come una sfera gassosa isoterma nella quale le particelle non sono molecole, bensì stelle).

Ipotesi 3

Un modello politropico dipende solo dallo spazio, in quanto esso fornisce la variazione della pressione (P), della densità (rho) e della massa dentro una sfera di raggio r (Mr) in funzione di r, la distanza dal centro del modello. Nessun processo dipendente dal tempo – come reazioni nucleari, mescolamento chimico, trasporto dell’energia, o perdita di massa per il vento stellare – è incluso. Inoltre, il modello non contiene alcuna informazione sulla temperatura attraverso la stella.

La stella è divisa in sottili gusci concentrici successivi, o strati, dal centro alla superficie. Le relazioni che devono venire soddisfatte dalle variabili fisiche del modello stellare sono dunque imposte ad ogni strato. La distanza fra due strati – o lo spessore di un singolo strato – è dato da dr, che è preso come un passo costante attraverso tutta la stella.

Lo spessore dr di uno strato dovrebbe, ovviamente, essere scelto piccolo rispetto al raggio della stella. Per una densità centrale di 1010, 1011 o 1012 g/cm3, i nostri valori suggeriti per dr sono, rispettivamente, 1,6 , 0,8 o 0,4 km. Adottando tali valori, la pressione praticamente scompare dopo circa 800-900 strati, indicando che si è raggiunta la superficie della stella. I valori di r e Mr in quel punto rappresentano, perciò, il raggio totale e la massa totale della stella.

 

COME USARE “STARSIMU” PER CALCOLARE UN MODELLO STELLARE

Caratteristiche principali di StarSimu

Vale la pena di vederle in dettaglio prima di usarlo. Sono le seguenti:

  • Parametri in ingresso. I dati in ingresso del modello sono l’esponente politropico Y, la costante K, la densità centrare rho_c (in g/cm3) e lo spessore dr (in km) di uno strato.
  • Parametri in uscita. I dati in uscita sono M, la massa totale della stella espressa in unità solari (1 massa solare = 2 x 1033 g), ed il raggio stellare R (in km).
  • Quantità fisiche. Per ciascuno strato, StarSimu fornisce la densità rho (in g/cm3), la pressione P (in dyne/cm2), la massa Mr (in grammi), come funzioni del raggio r (in cm). Esso fornisce anche le stesse quantità riferite al loro valore massimo, cioè i valori di rho/rho_c, P/Pc (il pedice “c” significa “centrale”, ovvero al centro della stella), e Mr/M come funzioni di r/R.
  • Numero di strati. Il nostro file è settato per calcolare fino a 1000 strati, ma il foglio di calcolo elettronico vi permetterà di aggiungerne molti di più con la funzione di copia che Excel ha.
  • Figure e grafici. Possono venire prodotti facilmente grazie alle sofisticate capacità di visualizzazione grafica dei programmi di foglio elettronico come Excel.

Esempio: un modello di nana bianca con StarSimu

Nella qui sotto possiamo vedere la struttura di una stella nana bianca calcolata con StarSimu. La figura mostra la variazione con la distanza radiale delle quantità fisiche rilevanti, come massa, pressione e densità (tutte riferite ai loro valori massimi, cioè “normalizzate”).

La struttura interna di una nana bianca calcolata con StarSimu.

Le nane bianche sono lo stadio finale dell’evoluzione delle stelle di piccola massa con masse iniziali più piccole di 3 masse solari. La posizione delle nane bianche sul diagramma H-R mostra che queste stelle hanno un raggio molto piccolo se confrontato con quello delle normali stelle della “sequenza principale”. D’altra parte, le masse delle nane bianche sono dell’ordine di 1 massa solare. Questi due fatti implicano che tali stelle hanno delle densità medie molto elevate.

Dopo che una stella di piccola massa ha esaurito il suo combustibile nucleare, può contrarsi in uno stato di nana bianca. Comunque, la maggior parte delle stelle che raggiungono lo stato di nana bianca devono aver perso una quantità significativa di massa. Infatti, esiste un limite superiore per la massa delle nane bianche. Questo limite – noto come “limite di Chandrasekhar”, dal nome del fisico indiano che lo determinò – è la massa più grande che una nana bianca può avere: circa 1,44 masse solari.

La nana bianca più conosciuta è Sirio B, la cui esistenza fu postulata da Bessel nel 1834 per spiegare il moto sinusoidale della stella Sirio nel cielo. Sirio B fu scoperta 18 anni più tardi da Clark. In seguito, sono state scoperte numerose nane bianche. La loro frequenza nei dintorni solari è stata stimata essere di circa 0,001 nane bianche per anno luce cubico, che corrisponde a una distanza media di 10 anni luce. In altre parole, le nane bianche sono piuttosto comuni nella nostra galassia, la Via Lattea.

La figura qui sotto è un schermata di StarSimu in azione:

Una schermata del foglio di calcolo di StarSimu corrispondente alla simulazione, con circa 890 strati, del modello di nana bianca mostrata nella figura precedente.

Osservazione 1

Come esempio di dati da fornire in ingresso, suggeriamo di adottare un esponente politropico Y = 4/3 ed una costante K = 4,94 x 1014 (d’ora in avanti, mi riferirò a questa scelta dei parametri come il “caso standard”). Questo modello, infatti, descrive rimarcabilmente bene una stella supportata dalla pressione di un gas di elettroni completamente degenere relativistico, una situazione fisica che si verifica nelle nane bianche con una densità rho >> 106 g/cm3 nella loro intera struttura.

Dato che in una stella la densità decresce andando dal centro alla superficie, in una nana bianca la condizione precedente è soddisfatta in ogni punto lungo il raggio solo se la densità centrale – come puoi verificare con StarSimu stesso – è di 3 o 4 ordini di grandezza più grande della densità alla superficie. Per esempio, puoi adottare una densità centrale di 1011 g/cm3 e un dr di 0,8 km, come nella figura qui sopra.

D’altra parte, possiamo prendere 1012 g/cm3 come un limite superiore per la densità centrale. Infatti, a densità più alte anche i nuclei atomici diventano degeneri, e si finisce per avere una stella di neutroni, che ha una differente equazione di stato. Perciò, nel caso standard la scelta di una densità centrale non è totalmente arbitraria, ma è limitata dalla condizione: 1010 < rho_c <1012 g/cm3.

Osservazione 2

Con StarSimu puoi verificare il valore del già citato “limite di Chandrasekhar” calcolando una serie di modelli con una densità centrale crescente. Infatti, la massa di una nana bianca dipende in modo quasi lineare dal logaritmo della densità centrale per densità inferiori a 108 g/cm3, ma tende asintoticamente al valore costante di 1,44 masse solari per densità più elevate.

Masse più elevate del limite di Chandrasekhar non sono possibili per le nane bianche. Se la massa è compresa fra 1,44 e circa 2,8 masse solari, la stella diventa una stella di neutroni, che solo in approssimazione molto rozza può essere descritta da un modello politropico di esponente Y = 5/3 e con K = 5,4 x 1010. Se la massa è più grande di 2,8 masse solari, la stella diventa un buco nero.

Simulazione al computer di un buco nero binario, dovuto a due stelle diventate buchi neri.

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