Come realizzare un circuito elettronico caotico

Il caos fa parte della bellezza della natura. Esso può essere osservato nel flusso di un fiume, nell’oscillazione di un pendolo o nella dinamica di una nuvola. Uno dei modi migliori per sperimentare con il caos è costruire un circuito elettronico come quello illustrato in questo articolo, che serve da paradigma per i sistemi caotici. Quando il circuito è sottoposto a determinate tensioni, esso produce un segnale caotico. La facilità con cui i parametri rilevanti al problema di un circuito elettronico possono essere gestiti permette di studiare in grande dettaglio il comportamento dinamico di un sistema caotico reale.

Fino a pochi decenni fa, pochissimi ingegneri elettronici avrebbero messo in dubbio  la validità delle seguenti dichiarazioni: oscillazione = periodico e rumore = non deterministico. Ora è innegabile che entrambe sono false. Lo scopo di questo documento è di fornire al lettore non solo le evidenze circostanziali che hanno portato a scardinare la validità di queste affermazioni ma anche una prova rigorosa di ciò. Le prove provengono da circuiti elettronici estremamente semplici che anche gli studenti delle scuole superiori possono costruire, come quello che proponiamo in questo articolo.

Non è necessaria alcuna attrezzatura delicata e/o costosa. Si raccomanda vivamente che il lettore interessato costruisca il circuito, quindi veda e persino ascolti i fenomeni. Le evidenze circostanziali mostrano che non c’è ragione per cui un’oscillazione dovrebbe essere sempre periodica e che il rumore può venire da un circuito deterministico. L’esperienza pratica con questi circuiti ci dice che esistono sistemi deterministici “imprevedibili”, nel senso che anche un cambiamento estremamente piccolo della condizione iniziale alla fine dà origine a una traiettoria completamente diversa.

Un “attrattore strano” , struttura caratteristica generata da un sistema caotico, prodotto da un sistema caotico simulato (a sinistra) o reale (a destra).

Gli oscillatori periodici sono “prevedibili” in quanto ogni traiettoria alla fine converge alla stessa orbita periodica indipendentemente dalla condizione iniziale. L’esperienza mostra che anche questi sistemi possono produrre “rumore deterministico”. Per circuito “caotico” in questo articolo si intende, più o meno ambiguamente, un circuito che ammette un’oscillazione non periodica. La teoria del Caos è lo studio di sistemi deterministici le cui dinamiche sono aperiodiche e dipendono sensibilmente dalle condizioni iniziali. I sistemi caotici hanno un comportamento a lungo termine imprevedibile.

I sistemi dinamici non lineari si comportano spesso caoticamente per determinati intervalli di parametri del sistema; per altre gamme di parametri si comportano periodicamente e quindi in modo prevedibile. Di seguito descriviamo un semplice circuito elettrico non lineare che può essere usato per studiare i fenomeni caotici. Il circuito impiega semplici elementi elettronici come diodi, resistenze, induttori, ed è facile da costruire. Una caratteristica del circuito è l’uso di un elemento non lineare quasi ideale, semplice da modellizzare e che porta a un eccellente accordo tra esperimento e teoria.

Un semplice circuito elettronico caotico

Nel 1981, Paul S. Linsay del Massachusetts Institute of Technology è stato il primo a studiare rigorosamente il comportamento del circuito che presentiamo in questo articolo. Da allora, molti fisici hanno tentato di spiegare come il circuito genera il caos. Quando ho saputo degli esperimenti di Linsay, sono rimasto colpito dal fatto che un semplice circuito possa produrre un tale complicato e interessante comportamento interessante. Avevo visto simulazioni al computer di sistemi caotici, ma qui c’era la possibilità di studiare le dinamiche caotiche della natura in prima persona.

Come scienziato dilettante, ho deciso che volevo vedere il caos per me stesso. E, con un pochino di sforzo, ho persino trovato il modo di ascoltarlo. Per costruire il circuito, tutto ciò che serve è un po’ di componenti elettronici di base: una resistenza, un induttore e un diodo. Io raccomando di iniziare con un resistenza di 200 ohm e un induttore di 100 milionesimi di un henry, l’unità dell’induttanza. Ho trovato che molti diversi diodi funzioneranno, inclusi i seguenti: 1N4001, 1N4004, 1N4005 e 1N4007.

Il circuito elettronico che produce caos presentato in questo articolo.

Oggi è possibile acquistare una manciata di resistenze, induttanze e diodi per pochi euro direttamente online. Il circuito può essere montato su una breadboard, che è un blocco di plastica con file di fori per accogliere i componenti. Per fornire il segnale di ingresso, avrai bisogno di un generatore di funzioni, che può essere acquistato (ad esempio qui) o autocostruito, come illustrato nel nostro articolo che trovi qui. Per misurare e visualizzare l’output del circuito, è meglio usare un oscilloscopio. Se non possiedi un oscilloscopio puoi trovarli in un dipartimento di fisica o ingegneria.

Una volta ottenuta tutta l’attrezzatura, non ci vorrà molto per assemblare il circuito. I componenti sono collegati in serie: prima il generatore di funzioni, poi la resistenza, quindi l’induttore e infine il diodo. Dovresti essere consapevole che l’orientamento di un diodo è importante nella costruzione di un circuito. Un diodo ha due terminali, noti come il catodo e l’anodo. Il terminale catodico è quasi sempre contrassegnato da una banda sul diodo. Idealmente, un diodo è un componente che consente alla corrente di fluire solo dal catodo all’anodo e non viceversa.

Quando costruisci il circuito per generare il caos per la prima volta, io consiglio di collegare il terminale del catodo all’induttore e l’anodo a terra. Ma se si inserisce il diodo dall’altra parte, scoprirai che fa ben poca differenza. Per monitorare l’uscita del circuito, aggancia una sonda dell’oscilloscopio tra la resistenza e l’induttore. Se il tuo oscilloscopio ha una seconda sonda, usala per misurare l’ingresso. Controlla tutte le connessioni e assicurati che tutti i componenti siano ben saldi sulla breadboard.

Ora sei pronto per esplorare il caos. Imposta il generatore di funzioni in modo che esso produca onde sinusoidali la cui frequenza è di circa due milioni di cicli al secondo (Hertz) e la cui ampiezza varia da 0,1 a -0,1 volt. Il segnale risultante dovrebbe avere un’ampiezza inferiore dell’input ma la stessa frequenza. Aumenta lentamente l’ampiezza del segnale di ingresso. A una certa ampiezza tra 1 e 2 volt, il circuito improvvisamente produce un segnale di uscita con picchi di due altezze diverse. Il segnale in realtà è costituito da due componenti, ognuna con una frequenza diversa.

Il punto in cui vengono introdotti nuovi componenti, nella teoria del caos, è noto come una “biforcazione”. In matematica, in particolare nei sistemi dinamici, un cosiddetto “diagramma di biforcazione” mostra i valori visitati o avvicinati asintoticamente (punti fissi, orbite periodiche o attrattori caotici) di un sistema in funzione di un parametro di biforcazione nel sistema. È normale rappresentare valori stabili con una linea continua e valori instabili con una linea tratteggiata, sebbene spesso i punti instabili siano omessi. I diagrammi di biforcazione consentono la visualizzazione della teoria della biforcazione.

Un esempio di diagramma di biforcazione per un circuito elettronico non lineare.

Via via che continui ad aumentare l’ampiezza di una piccola quantità discreta, il segnale si biforca ancora. Se registri l’ampiezza a cui si verifica ogni biforcazione, noterai che il cambiamento di ampiezza tra le biforcazioni diminuisce geometricamente. Ad una certa ampiezza, il sistema si sarà biforcato un numero infinito di volte, ottenendo così il caos. Il segnale in realtà non è casuale, ma una complessa miscela di componenti. Aumentando l’ampiezza oltre l’inizio del caos, dovresti essere in grado di produrre un segnale di uscita con tre o anche cinque componenti di frequenza. Quest’effetto è tipico dei sistemi caotici.

Se il tuo circuito non sta generando caos, regola il generatore di funzione a una frequenza diversa e riprova. Se ancora non lo vedi e se sei sicuro che tutto il resto funzioni correttamente, dovresti provare un diverso tipo di diodo. Io ho imparato che i diodi che funzionano meglio sono quelli che hanno un’alta capacità. È possibile scoprire la capacità del diodo chiamando il produttore o procurandosi direttamente su Internet una copia della “scheda tecnica” del diodo, il famoso datasheet.

Risposta del circuito caotico illustrato in questo articolo ai vari regimi.

Potrebbe anche essere difficile sperimentare a frequenze di qualche milione di Hertz a causa dei limiti del tuo generatore di funzione o del tuo oscilloscopio. Modificando i componenti di base, puoi lavorare a frequenze più basse. Se si utilizza un diodo 1N2858, una resistenza di 25 ohm e un induttore di 0,1 henry, è possibile guidare il circuito nel caos intorno a 75.000 Hertz. Potresti essere costretto a ordinare l’induttore 0.1-henry da un catalogo specializzato, dato che sono usati raramente dagli hobbisti.

Perché il comportamento del circuito è caotico

La fonte del comportamento caotico nel nostro circuito è il diodo. Idealmente, un diodo condurrebbe la corrente in una sola direzione. La corrente fluirà attraverso il diodo solo se la tensione al catodo è inferiore rispetto a quella all’anodo. Nel circuito l’anodo è collegato a terra (zero volt); quindi, se il catodo ha una tensione negativa rispetto alla terra, il diodo condurrà.

I diodi reali, però, differiscono da quelli ideali. Se la tensione al catodo è positiva, il diodo si comporta in qualche modo come un condensatore, cioè la tensione attraverso il condensatore è proporzionale alla velocità di cambiamento di corrente. Continuerà ad agire in questo modo fino a quando la tensione sul catodo raggiunge circa -0,5 volt. Allora condurrà liberamente corrente, ma resisterà comunque al flusso in qualche modo, mantenendo la tensione a circa -0,5 volt. Se la tensione al catodo scende quindi sotto zero volt, non lo fa spegnere immediatamente. Per un breve periodo, il diodo consente alla corrente di scorrere e quindi si comporta di nuovo come un condensatore.

I diodi conducono corrente quando la tensione sul catodo è inferiore di quella sull’anodo. Il grafico mostra la risposta di un diodo tipico.

I circuiti che richiedono i diodi sono di solito progettati in modo che le proprietà non ideali dei diodi vengano soppresse. Ma il nostro circuito sperimentale fa emergere il pieno carattere del diodo. Innanzitutto considera cosa succede se l’ingresso del circuito è un’onda sinusoidale la cui ampiezza varia da 0,1 a -0,1 volt. In queste condizioni, la tensione al catodo non scende al di sotto di 0,5 volt, e quindi il diodo si comporta come un condensatore. In questo caso, il comportamento del circuito è prevedibile.

Quando l’ingresso è impostato su un’onda sinusoidale a bassa frequenza, il condensatore e l’induttore agiranno come una grande resistenza, impedendo al flusso di corrente di attraversarli. L’ampiezza dell’onda di ingresso sarà quindi uguale a quella dell’onda di uscita. Come la frequenza dell’ingresso viene aumentata a un valore un po’ critico, l’induttore e il diodo forniranno poca resistenza, permettendo così alla corrente di fluire attraverso di loro a terra. La tensione di uscita si avvicinerà quindi a zero.

Come la frequenza viene aumentata o diminuita dal valore critico, l’ampiezza dell’uscita aumenta fino a quando non è uguale a quella dell’input. La frequenza critica dipende dalla capacità del diodo e dall’induttanza del circuito. In pratica, è uguale a:

dove l’induttanza è misurata in henries e la capacità in farad. Quindi, se l’induttanza è 100 milionesimi di un henry e la capacità è di 50 trilionesimi di farad, la frequenza critica è pari a circa 2,3 milioni di hertz.

Ora se l’ampiezza varia da + 2 a – 2 volt, il diodo potrebbe comportarsi in due modi. Potrebbe consentire alla corrente di attraversarlo. Oppure può comportarsi come un condensatore. Quale comportamento esso sceglie ora dipende dalla tensione al suo catodo e da quanto a lungo è stata applicata la tensione. A sua volta, la tensione applicata al catodo è correlata al modo in cui l’induttore reagisce alla tensione in ingresso. Poi di nuovo dipende anche da come reagisce l’induttore se il diodo si sta caricando come un condensatore o è in attesa alla tensione di -0,5 volt.

In termini semplici, l’induttore sta ricevendo un set di istruzioni dal segnale di ingresso e un altro set dal diodo. Se la sequenza ed i tempi delle istruzioni sono giusti, il circuito può continuare a produrre un segnale periodico. Ma se il ritmo naturale delle istruzioni viene rotto, il circuito produce caos. Nell’ultimo decennio, Roger W. Rollins e Earle R. Hunt dell’Università dell’Ohio hanno lavorato su una simulazione al computer che descrive il comportamento del circuito esattamente.

Come sperimentare con il circuito proposto

Dopo aver capito bene come funzionano i componenti, ti incoraggio a sperimentare con il circuito. Per esempio tu puoi inserire diversi diodi e osservare come il comportamento caotico cambia. Oppure potresti provare a cambiare la frequenza, la forma o l’offset DC del segnale di ingresso.

Un semplice generatore di funzioni in kit che puoi usare per far funzionare il circuito caotico. Lo puoi trovare in vendita online, ad esempio qui.

Se hai un oscilloscopio, potresti anche trovare interessante visualizzare il segnale di uscita in un altro modo. È possibile tracciare il segnale di ingresso rispetto all’uscita utilizzando l’oscilloscopio in modalità x-y (una sonda dell’oscilloscopio dovrebbe monitorare l’ingresso; l’altra dovrebbe registrare l’uscita.) Dovresti vedere uno o più loop sullo schermo dell’oscilloscopio. In questa modalità il numero di loop aumenta con l’aumentare del numero di componenti di frequenza.

Per quei lettori a cui piacciono le dimostrazioni drammatiche e per chi non ha un oscilloscopio a portata di mano, consiglio un esperimento di tipo diverso. È possibile ascoltare il caos agganciando il circuito al proprio impianto stereo. Prima di farlo, tu dovresti pensare se l’input del tuo impianto può gestire l’uscita del circuito. Non devi sparare molta corrente o tensione nell’impianto stereo.

Dovresti prima confermare che il tuo generatore di funzioni sta producendo le tensioni che desideri. Se la tensione di ingresso al circuito è di 5 volt e la resistenza è di 200 ohm, la corrente massima dovrebbe essere di 25 milliampere (la corrente è uguale alla tensione divisa per la resistenza). Consulta perciò il manuale per il tuo stereo, dovresti essere in grado di scoprire se i canali di input possono gestire 5 volt e 25 milliampere. Se no, puoi aumentare la resistenza del circuito.

Per collegare il circuito allo stereo, utilizza un cavo patch. Se tagli un’estremità del cavo e la spelli, vedrai un filo e una schermatura metallica o un secondo filo. Collega il primo filo all’uscita del circuito. Quindi collega un filo della schermatura alla terra del circuito o collega il secondo filo a terra. Assicurati che lo stereo sia spento e quindi inserire il plug a un canale di ingresso dello stereo.

Puoi ascoltare la transizione verso il caos del circuito presentato con uno stereo.

Innanzitutto, imposta il generatore di funzioni su onde sinusoidali di 1 volt a circa 1.000 hertz. Porta il volume su un valore basso e quindi accendi lo stereo. Dovresti sentire un tono su due ottave sopra la media C. All’aumentare della frequenza, il tono dovrebbe aumentare di intonazione. Ma quando si raggiungono circa 20.000 Hertz, il tono sarà fuori dalla portata del tuo udito. Successivamente gira la frequenza fino a due milioni di hertz. Non dovresti sentire più un tono.

Per guidare il circuito nel caos, aumenta l’ampiezza dell’ingresso lentamente. Non aumentare la tensione oltre i 5 volt, a meno che il tuo stereo sia in grado di gestire più di 25 milliampere. Via via che l’ampiezza aumenta, il circuito produrrà un segnale con due componenti di frequenza, poi quattro, poi otto e così via. Dovresti ancora non sentire alcun suono. Quando l’ampiezza aumenta oltre l’inizio del caos, tuttavia, lo stereo dovrebbe sibilare a voce alta. Quando il circuito si comporta in modo caotico, genera una vasta gamma di componenti di frequenza, compresi alcuni che tu dovresti poter sentire.

Ora puoi esplorare il caos con le tue orecchie. In generale, maggiore è l’ampiezza del segnale di ingresso, maggiore è la frequenza dei componenti che ascolterai. Ad alcune ampiezze, tuttavia, il circuito genererà un segnale con solo tre o cinque frequenze componenti e il rumore si fermerà. Non credo che il circuito caotico abbia un futuro come strumento musicale. Ma i compositori hanno scritto sinfonie usando sintetizzatori elettronici. Perché non pensare a un concerto in do maggiore per il circuito caotico?