Come puoi misurare la distanza della Luna

Vi sono 4 metodi differenti per misurare, sia pure con diversa precisione, la distanza Terra-Luna: due antichi e due moderni. Ben tre di essi sono alla portata di uno scienziato dilettante: uno di essi è più “fisico”, in quanto impiega la riflessione delle onde radio sulla superficie della Luna; mentre gli altri due, che sfruttano un’eclissi lunare o la misurazione della parallasse, sono più “matematici”. Misurare la distanza della Luna con i metodi che illustreremo potrebbe essere un po’ più laborioso rispetto alla ricerca su Internet, ma determinare da soli la distanza della Luna sarà sicuramente più divertente!

Il modo più preciso per misurare la distanza della Luna dalla Terra – che però non è alla portata di un astrofilo – è quello di inviare un potente segnale laser verso gli specchi posizionati sulla superficie lunare dagli astronauti delle missioni Apollo. Il tempo necessario per far tornare il raggio laser sulla Terra fornisce una misura incredibilmente precisa della distanza della Luna, entro pochi centimetri. Ma questa tecnica moderna è lontana dal regno e dalle capacità tecnologiche degli astronomi dilettanti.

Infatti, in un esperimento reale fatto con il telescopio CERGA dell’Osservatorio della Costa Azzurra, in Francia, è stato inviato verso la luna un impulso laser (a  diodo InAsGa) di energia 0,25 J e della durata di 130 ps. La radiazione di ritorno è stata misurata con un diodo Si a valanga e l’energia del segnale è stata di 7×10^-20 J. Il fascio di andata in uscita dall’atmosfera terrestre aveva un’apertura di 5 secondi d’arco, pari a 10 km sulla Luna. Il fascio di ritorno aveva un’apertura di 3 secondi d’arco = 6 km sulla Terra.

Una tecnica astrometrica moderna per misurare la distanza della Luna usa il laser.

Un altro metodo moderno per misurare la distanza della Luna sfrutta l’invio di un segnale radio da una stazione trasmittente alla Luna. I segnali rimbalzano sulla superficie della Luna e tornano sulla Terra, dove vengono rilevati da un ricevitore. Dato che le onde radio viaggiano alla velocità della luce, che è nota, dal ritardo con cui arriva sulla Terra il segnale riflesso si può ricavare la distanza. Il metodo è illustrato in un altro ns. articolo che trovi qui. Qui illustreremo, invece, i due metodi “classici”, storici.

Misurazione attraverso un’eclisse lunare

Gli antichi Greci usavano le eclissi lunari – il fenomeno che si verifica quando la Terra passa tra il Sole e la Luna – per determinare la distanza dalla Terra al suo satellite. È una semplice questione di tracciamento e tempistica del tempo impiegato dall’ombra della Terra per attraversare la Luna. Sappiamo inoltre, come gli antichi Greci, che la Luna viaggia intorno alla Terra a una velocità costante: circa 29 giorni per rivoluzione. Il diametro della Terra è noto essere circa 12.875 km.

Seguendo il movimento dell’ombra della Terra attraverso la Luna, gli astronomi greci hanno scoperto che l’ombra della Terra era circa 2,5 volte la dimensione apparente della Luna e che il fenomeno durava circa tre ore dal primo all’ultimo segno dell’ombra. Da queste misurazioni, nel 270 a.C., con semplici considerazioni geometriche Aristarco determinò che la Luna si trovava a circa 60 raggi terrestri di distanza, pari a circa 386.243 km. Ciò è molto vicino al valore oggi accettato di 60,3 raggi terrestri.

Il metodo di Aristarco per la misurazione della distanza della Luna.

Nota che a quel tempo era comunemente accettato che la Terra fosse una sfera (sebbene le sue dimensioni fossero state calcolate solo pochi anni dopo, da Eratostene). Gli astronomi credevano anche che la Terra fosse il centro dell’universo e che Sole, Luna, pianeti e stelle orbitassero attorno ad esso. Era quindi naturale che Aristarco ipotizzasse che la Luna si muovesse in un grande cerchio attorno alla Terra. Supponi che R sia il raggio di quel cerchio e T il tempo impiegato dalla Luna per percorrerlo tutto.

In quel tempo la Luna copre una distanza di 2πR, dove π = 3,1415926  è una costante matematica, il rapporto circonferenza / diametro in un cerchio. Un’eclissi di Luna si verifica quando la Luna passa attraverso l’ombra della Terra, dalla parte opposta rispetto al Sole (quindi, dobbiamo vedere una Luna piena). Se r è il raggio della Terra, la larghezza dell’ombra è vicina a 2r. Supponiamo che il tempo impiegato dal punto di mezzo della Luna, per attraversare il centro dell’ombra, sia di circa 3 ore (nelle eclissi della durata più lunga, quando la Luna attraversa il centro dell’ombra).

Supponiamo che la Luna si muova attorno alla Terra a una velocità costante. Se è necessario il tempo T per coprire 2π R = 6,28 R e il tempo t per coprire 2r, allora 6,28 R / 2r = T/t. Da questo Aristarco ha ottenuto R / r ≈ 60, come abbiamo accennato prima. Puoi dunque usare il metodo di Aristarco nel tuo cortile se hai una visione chiara di un’eclissi lunare. Traccia il movimento dell’ombra terrestre sulla Luna disegnando i cambiamenti e il tempo dell’eclissi. Usa le tue misure per determinare la distanza della Luna.

Misurazione attraverso la parallasse

Per questo metodo, avrai bisogno di un amico che ti dia una mano. Gli antichi Greci sapevano della parallasse, l’apparente cambiamento di posizione di un oggetto visto da due diversi punti di vista. Puoi sperimentare la parallasse tenendo una penna lontana con il braccio e guardandola con un occhio alla volta. Quando si passa dall’occhio sinistro a quello destro, la penna sembrerà muoversi leggermente avanti e indietro. La stessa cosa può essere vista su una scala gigante.

Per sfruttare il metodo della parallasse, due osservatori devono guardare la Luna da due punti della Terra posti a grande distanza fra loro.

In pratica, due osservatori posti in diverse parti del mondo (almeno a 3.200 km) vedranno la posizione della Luna diversa da quella in cui i calcoli dicono che dovrebbe essere nel cielo notturno. Per trovare la distanza della Luna dalla Terra, tu e un amico siete a 3.200 km di distanza e ognuno scatta una foto della Luna esattamente allo stesso tempo. Quindi, confronta le due immagini. La Luna sarà in un punto diverso, ma le stelle di sfondo saranno nello stesso posto. Ciò che le due immagini ti hanno dato è un triangolo.

Poiché conosci la base (la distanza tra te e il tuo amico) e puoi trovare l’angolo in alto (il punto della Luna in questo triangolo), la geometria ti darà facilmente un valore per la distanza della Luna. Il metodo che abbiamo illustrato è in realtà abbastanza simile a quello usato nell’antichità da Ipparco, ma con i vantaggi e la precisione fornita dagli strumenti moderni. Ma vediamo come può essere applicato, in pratica, da uno scienziato dilettante per stimare la distanza Terra-Luna.

A causa della parallasse, la Luna verrà vista in una posizione diversa da una medesima stella fissa se osservata contemporaneamente dalla Grecia e dal Regno Unito. 

La parallasse è spesso usata dagli astronomi per misurare la distanza dalle stelle vicine e fu usata dai primi astronomi per determinare la distanza dai pianeti e dal Sole. In questo esperimento misureremo la parallasse della Luna per determinarne la distanza. L’occorrente è il seguente materiale:

  • Un inclinometro o un dispositivo di misurazione dell’angolo simile
  • Una fotocamera DSLR o qualsiasi fotocamera che consenta lunghe esposizioni
  • Un obiettivo in grado di mostrare la Luna con dettagli modesti, mostrando allo stesso tempo il campo stellare circostante. Un obiettivo zoom da 75–300 mm è perfetto per questo
  • Un treppiede su cui montare la fotocamera
  • Un cavo di scatto per scattare lunghe esposizioni senza disturbare la fotocamera
  • Un amico con una configurazione simile o identica
  • Diverse centinaia di km tra te e il tuo amico
  • Software di astronomia come il programma gratuito Stellarium
  • Software di elaborazione delle immagini come Photoshop o GIMP

Scegli una notte in cui la luna è visibile sia a te che al tuo amico, preferibilmente una in cui la luna si trova vicino a una stella luminosa. Questo può essere pianificato in anticipo utilizzando programmi di astronomia come Stellarium e siti web come CalSky. Assicurati di avere tutto impostato e focalizzato almeno quindici minuti prima dell’osservazione. La puntualità non è cruciale per questo esperimento, ma vale la pena esercitarsi. Assicurati di avere una comunicazione affidabile con il tuo partner nell’esperimento.

Lo spartano ma utile portale web CalSky.

La sincronizzazione delle foto che farai è cruciale in quanto la Luna non è un oggetto statico e ha un suo movimento oltre al suo apparente movimento causato dalla rotazione della Terra. Posiziona la fotocamera su un otturatore remoto in modo da non urtare la fotocamera durante lo scatto. Ogni scatto sincronizzato dovrebbe essere abbastanza lungo nell’esposizione per mostrare la tua stella bersaglio, ma abbastanza breve per mostrare un terminatore ben definito sulla Luna.

Ciò sarà importante per l’allineamento dell’immagine in un secondo momento. Assicurati di misurare anche l’angolo di elevazione della Luna da entrambe le posizioni usando il tuo inclinometro. Questo sarà importante in seguito. Puoi trovare una guida per realizzare un inclinometro di base sul web. Oppure puoi usare un’app per smartphone come Teodolite (iOS) o Dioptra (Android). Questo essenzialmente pone fine alla maggior parte dell’osservazione, sebbene sia saggio fare più scatti e scartare quelli cattivi.

Dioptra è un eccellente inclinometro per Android.

Come parte finale della tua sessione di osservazione, scatta una foto a lunga esposizione del cielo notturno dopo che la Luna si è spostata fuori dalla cornice. Assicurati di non modificare la messa a fuoco o lo zoom dell’obiettivo. Questa immagine del campo stellare sarà utile per calcolare la scala della tua immagine, che sarà importante per misurare gli angoli in seguito. Naturalmente, se non hai un amico distante per aiutarti nella tua impresa, potrai cercare sul web un astrofilo lontano che collabori con te.

Ora apri le tue immagini e quelle del tuo partner nell’editor di immagini che preferisci. Se hai scattato RAW, apri l’immagine nel convertitore raw e applica eventuali correzioni di lenti e disturbi. Una volta che le immagini sono aperte, sovrapponi l’una sull’altra e allinea le due. Ciò potrebbe richiedere una rotazione e un ridimensionamento in base alla differenza nell’equipaggiamento utilizzato per acquisire le immagini. Usa il metodo di fusione “differenza” sul livello superiore in modo da poterlo allineare con il fondo al pixel più vicino. Qualche differenza va bene, ma cerca di avvicinarla il più possibile.

Un ottimo punto per allineare entrambe le immagini è il terminatore lunare. Una volta allineate le immagini, qualsiasi spostamento parallattico dovrebbe apparire come uno spostamento della stella bersaglio. Ora che hai allineato le tue immagini, puoi iniziare a misurare accuratamente la parallasse della Luna. Usa lo strumento righello nel tuo software di modifica delle immagini preferito per misurare lo spostamento apparente della tua stella bersaglio nell’immagine allineata sulla luna.

Misura dello spostamento di parallasse della Luna rispetto alla stella, Theta Lyrae. L’immagine del partner è stata sovrapposta con un’opacità del 50%. Immagini allineate usando le funzioni di superficie sulla Luna. Theta Lyrae appare come una fessura luminosa all’interno di ogni mirino.

Cerca di essere il più preciso possibile quando esegui questa misurazione, registra al centesimo di pixel più vicino. In alternativa, se sono presenti più stelle in entrambe le immagini, puoi scegliere di allineare le tue immagini sulle stelle e misurare lo spostamento del centro del disco della Luna. Entrambi dovrebbero dare risultati simili. I pixel sono unità arbitrarie, quindi una misura di parallasse non è esattamente utile. Quello che dobbiamo fare ora è trovare la scala di pixel della tua immagine.

Qui entrano in gioco quelle immagini del campo stellare. Trova la migliore e (se il tuo scatto in RAW) applica le stesse correzioni dell’obiettivo della tua immagine lunare. Salva questa immagine come JPEG di alta qualità. Ora useremo una tecnica chiamata “risoluzione della lastra” per trovare la scala dell’immagine. Essa confronta, in pratica, le stelle presenti nella tua immagine con un database di stelle per identificare correttamente le coordinate celesti e la scala della tua immagine.

Astronomy.net fornisce una scala di 4,55 secondi d’arco per pixel.

Abbiamo usato il risolutore di lastre online Astrometry.net per trovare la scala della nostra immagine. È possibile farlo manualmente usando le carte stellari, ma l’uso di un computer è sia più veloce che più preciso. Una volta che conosciamo la scala dei pixel, possiamo finalmente iniziare a fare un po’ di conti con la trigoniometria. In pratica, puoi utilizzare un foglio di calcolo fornito in questo articolo, che puoi scaricare qui. Per trovare la distanza dalla Luna, abbiamo bisogno di due valori, la parallasse (angolo p) e la separazione tra gli osservatori, nota anche come linea di base (linea AB).

I valori da determinare (figura non in scala).

Per trovare l’angolo di parallasse, prendi il tuo valore per lo spostamento in pixel e moltiplicalo per la scala di pixel dell’immagine. Ciò dovrebbe darti la tua parallasse in secondi d’arco. Ad es. nel nostro caso una scala di immagine di 4,55 secondi d’arco per pixel e uno spostamento misurato di 62,3 pixel produce un angolo di parallasse di 283,6 secondi d’arco. Per convertire i secondi d’arco in gradi dividi per 60 due volte.

Trovare la linea di base richiede un po’ di trigonometria. La Terra è sferica, quindi non è sufficiente misurare la distanza in Google Earth. Dobbiamo trovare la distanza diretta attraverso la Terra in modo che la nostra linea di base sia una linea retta piuttosto che un arco. Per fare ciò dobbiamo conoscere la distanza del Grande Cerchio (la distanza che Google Earth fornisce) e il raggio della Terra. La Terra non è una sfera perfetta, ma il raggio medio di 6.371 chilometri andrà benone.

Distanza diretta (corda) fra due punti sulla Terra.

Ora che abbiamo tutti e tre gli angoli del triangolo e le lunghezze di due lati, la distanza diretta tra A e B può essere trovata usando la legge dei seni. La legge dei seni ci dice che il seno dell’angolo “α” sulla lunghezza “r” è uguale al seno dell’angolo “θ” sulla lunghezza “x”, dunque puoi risolvere questa uguaglianza per la lunghezza di “x”, che è la distanza diretta tra i punti A e B. C’era una grande distanza del cerchio di 1511,21 chilometri tra me e il mio partner, che si traduce in una distanza diretta di 1507,67 chilometri tra di noi. Con ciò, possiamo finalmente misurare la distanza dalla Luna.

Quindi ora conosciamo la parallasse della Luna e anche la lunghezza della nostra linea di base. Finalmente abbiamo ciò di cui abbiamo bisogno per misurare la distanza dalla Luna. Se sfruttiamo l’assunto semplificante, che il triangolo ABM sia isoscele, l’equazione per trovare la distanza è semplicemente:

Nel nostro caso, la lunghezza di AB era di 1507,67 chilometri e la parallasse era di 283,6 secondi d’arco (0,0787 gradi, 0,00137 radianti). Se inseriamo quei numeri nell’equazione, la distanza risultante dalla Luna è: 1.096.536 chilometri. In qualche modo abbiamo trovato una distanza maggiore del 285% rispetto al valore comunemente accettato. Come mai? Qualcosa è andato storto?

Sorgenti di errore e correzioni opportune

La risposta sta nel presupposto che abbiamo fatto nell’equazione e nella posizione della Luna sopra l’orizzonte. Io e il mio partner a distanza abbiamo osservato la Luna in una fase iniziale. Questo significa che la Luna stava già tramontando quando sono state scattate le nostre immagini! Se visualizzi ciò, significa mettere la Luna in un angolo molto obliquo rispetto a noi, e rende il triangolo ABM un triangolo molto scaleno, non isoscele come abbiamo in precedenza ipotizzato.

Ciò significa che la nostra distanza di base era significativamente più grande del nostro angolo di parallasse e l’approssimazione con un triangolo isoscele funziona bene solo quando la distanza di base è molto vicina all’angolo di parallasse, portando al risultato distorto. Quello che dovremo fare è risolvere direttamente il triangolo scaleno e se hai misurato l’angolo di elevazione della Luna durante la tua osservazione, avrai tutto ciò che ti serve per calcolare accuratamente la distanza della Luna.

Per risolvere un triangolo scaleno è necessario conoscere tre elementi e uno di essi deve essere un lato. Per fortuna, conosciamo un lato del triangolo, la nostra linea di base AB e un angolo, la parallasse della Luna. È qui che entra in gioco la nostra misurazione dell’angolo di elevazione della Luna e dell’angolo “θ” che abbiamo calcolato in precedenza. L’angolo γ è l’angolo di elevazione della Luna in radianti sopra l’orizzonte dal punto A. L’angolo β può essere trovato tramite una regola geometrica che indica che l’angolo β è metà dell’angolo θ. La somma dell’angolo γ e dell’angolo β ci fornisce l’angolo A, ovvero l’angolo BAM.

La linea tratteggiata rappresenta l’orizzonte per l’osservatore in A.

Con l’angolo BAM noto, ora abbiamo risolto efficacemente l’intero triangolo. Poiché tutti gli angoli in un triangolo si sommano dando π radianti, l’angolo ABM è semplicemente π meno l’angolo BAM più il nostro angolo di parallasse p. Con tutti gli angoli noti, la distanza dal punto A al punto M (la Luna) e la distanza dal punto B al punto M sono, rispettivamente:

Assicurati di convertire il tuo angolo di parallasse in radianti se non l’hai già fatto. Il mio partner al punto A ha misurato un angolo di elevazione lunare di 14 gradi, o 0,244 radianti. La combinazione con l’angolo β ci dà un valore di 0,362 radianti per l’angolo BAM e quindi un valore di 2,77 radianti per l’angolo ABM. Con una linea di base di 1507,67 chilometri e una parallasse di 0,00137 radianti, la distanza della Luna dal punto A risulta essere: 390.775,4 chilometri. Ciò non è solo accettabile, è giusto.

L’app di astronomia Stellarium ha fornito una distanza lunare dal punto A al momento dell’osservazione di 389.128,6 chilometri. Un errore solo dello 0,42%! Usando l’ultima l’equazione mostrata, la distanza della Luna dal punto B risulta essere: 389.366,3 chilometri. Stellarium fornisce un valore di distanza lunare di 387.716,6 chilometri dal punto B al momento dell’osservazione. Quindi di nuovo, abbiamo stimato la distanza della Luna con un errore percentuale solo dello 0,42%!

L’app di astronomia “Stellarium” utilizzata per questa esperienza.